2019-01-08 16:57:21
在这一帖中，仍然是介绍数学中的基本思维模式，重点是语言抽象中的公理表达体系，通过实变函数展示公理体系的强大能力。
这篇帖子其实是实变函数+点集拓扑两门课程的介绍，因为实变函数需要点集拓扑为基础知识，所以点集拓扑占的分量比较大。
既然是鸟瞰一下实变函数，所以尽可能用通俗语言。显然这篇帖子不可能让大家真正学习了解实变函数，上帝来也不可能，因为那是一门课，在这个帖子中顶多能够展示实变函数这门课包括什么内容而已。当然还是能够展示数学中的语言抽象能力强大到什么程度的。
对数学感兴趣的人，可以去看那汤松的《实变函数论》，这是苏联莫斯科大学数学系的经典教材，只是知识比较老了，还需要再看看中国科大数学系的教材，徐森林写的《实变函数论》，这本书的特点是习题比较难，这是科大数学系教材的传统，习题难。
一、鸟瞰实变函数
1、为什么学习实变函数难
实变函数是大学数学系从古典数学走向现代数学的入门课，是另外一种超出人类直觉的抽象能力的开始：语言抽象。具体说，实变函数=集合语言（这是人类最简单明了的抽象语言体系）+公理体系（这是事物最本质的抽象关系，也即映射抽象）来研究可测函数（这是比微积分研究的连续函数，复变函数研究的解析函数和亚纯函数要一般得多的函数）的积分，连续，收敛等等性质。。
集合语言和公理体系本质是语言抽象，这两个难点就是学习实变函数的难点。俗话说：实变学十遍，大多数人还是学不清楚。其实数学系大学本科淘汰学生，实变函数是一关（另外几关分别是抽象代数，泛函分析，微分几何和拓扑，基本这几门课，就把不适合学习数学，或者不具备结构抽象能力，公理化抽象能力（语言抽象能力）和空间抽象能力的学生淘汰了）。
所以如果能够熟悉用集合的语言描述函数或函数列的性质，能够在集合的语言与分析的语言之间相互转换，就能容易入门，这是学习实变函数的诀窍。
2、为什么要讨论实变函数
因为在物理和工程中，需要大量使用积分（例如能量是积分，距离是积分、压力是积分、体积面积是积分等等），而99%的工程或物理上碰到的积分，都是无法得出解析解的，都只能依靠数值解计算，而计算数值解，主要方法就是逼近，采用计算技术后，近似计算的精度可以达到任意需要的程度。
近似计算，其实就是用一个比较简单的函数序列的积分去逼近目标函数的积分，这样就要求函数序列必须是收敛到目标函数的，同时这个函数序列的积分也是收敛的，不然就无法判断近似计算得出的数值解是不是对象函数的积分。
这个问题就是积分和极限的顺序是否可以交换的问题。
在黎曼积分中，积分和极限的顺序可以交换需要附加非常强的条件：函数序列一致收敛。
但是绝大多数工程和物理涉及的积分是无法做到一致收敛的，甚至处处收敛都做不到。
例如在微积分那个帖子了，我们提到并不是所有函数的傅里叶展开（这也是一种逼近算法）都能收敛到函数本身。
函数列一致收敛是非常强的条件，函数列的连续性、可积性等性质都能被极限继承下来，但是一致收敛的函数列并不多，所以必须考虑放宽条件。那么怎么放宽呢？
例如，如果一个函数列仅仅是处处收敛，如何放宽条件到类似一致收敛的性质？
看一个例子：f_n(x)=x^n，x∈(0,1)，这是一个处处收敛到0但不一致收敛的函数列。导致这个函数列不一致收敛的原因在于区间的右端点，只要我们把右端点的一个充分小邻域挖掉，例如挖掉(δ，1)，其中δ充分接近1，那么在剩下的区间(0，δ]上，函数列是一致收敛的。
这个例子就是处理类似问题的思路：也即挖掉导致不一致收敛的点，这些点组成的集合如果是很小的（零测度集），那么对函数列整体性质影响极小。
其实在实变函数课程中，我们能够证明，当一个函数列处处收敛时，导致收敛不具有一致性的仅仅是定义域中测度为零的点集。
所以实变函数一个重要的定理就是：一个处处收敛的函数列一定可以通过挖掉定义中很少的部分，使得在剩余的部分一致收敛。
这就是实变函数中非常重要的叶果罗夫定理，稍微严谨的表述是：
如果{f_n（x）}是有限测度集E上几乎处处有限且几乎处处收敛到f(x)的可测函数列，那么对任意δ>0，存在E的可测子集E_δ，使得Eδ的测度小于δ，并且f_n（x）在E-E_δ上一致收敛到f(x)。
这个定理对于积分与极限交换顺序的证明起着举足轻重的作用。
这种把问题分成正常与奇异两个部分来分别处理，是实变函数的常规方法。
所以不懂实变函数，就不可能真正精通傅里叶分析（要想真正了解傅里叶分析，就必须熟悉实变函数，因为在傅里叶分析中，一个最基本也是最重要的问题是：傅里叶级数是否收敛？按什么方式收敛？这个问题在微积分里是无法搞清楚的，事实上，即使是一个连续函数，其傅里叶级数也可能在某些点发散，魏尔斯特拉斯构造出了一个连续函数，其傅里叶级数是处处发散的。只有实变函数才能解决这个问题），而傅立叶分析是大多数工程和技术使用数学的入门工具，可以说傅利叶分析是一切工程师的混饭吃的基本装备；也不可能懂泛函分析，而泛函分析是所有优化方法和算法的基础工具，是现代管理技术（主要是管理信息系统）、通讯技术、控制技术、计算机技术和机器学习等智能技术的基础工具。
3、实变函数要解决的核心问题
微积分是研究连续函数的可微和可积，实变函数是研究可测函数的可积，泛函分析是研究广义函数性质（广义函数是物理学中第一把打开无限维空间几何的钥匙）。
从连续函数到可测函数在抽象能力上是一个巨大飞跃，这个飞跃有两个难度，第一个难度是必须熟悉用抽象的集合语言来研究可测函数性质（例如用集合语言描述集合列和可测函数的极限，连续，可积等等），第二个难度是熟悉推广的度量概念（或者说抽象的度量概念，例如抽象的距离，面积，体积等等，这些概念在泛函分析中会推广到无穷维空间中），也即测度(抽象测度是将区间的长度,区域的面积等概念的共性提炼出来形成一套公理，在此基础上进行逻辑演绎得出一整套的理论，这与其它近代数学分支是类似的)，测度论最困难的地方不是许多定理，而是要习惯公理化体系定义对象，而不是传统微积分中构造定义或几何直观定义。
前面介绍微积分时，我们知道在微积分中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。
在微积分中，函数黎曼可积的判别条件是：假设f（x）是区间[a，b]上的函数，则f在[a，b]上黎曼可积的充分必要条件是当δ（Δ）→0时，S^*（Δ）-S_*（Δ）→0，其中S^*（Δ），S_*（Δ）分别是对应于分割Δ的大和与小和。
所以要保证一个函数的Riemann积分存在，必须基本上连续，这就严重限制了可积函数的范围。即使一个函数序列的极限是存在的，其极限函数也未必可积，即使极限函数可积，其函数序列积分的极限也未必等于极限函数的积分。这说明了Riemann可积函数类关于极限不是封闭的，或者说Riemann可积函数全体关于通常意义下的极限（具体地说即逐点极限）是不完备的。
不完备就意味着函数列收敛有很多问题。例如有理数集合不是完备的，也即有理数数列收敛的值不一定还是有理数。实数集合是完备的，所以很多在实数集中成立的结论在有理数集中不成立。
所以微积分留下了几个逻辑漏洞需要填补：
★极限收敛唯一性存在性条件的不完备：因为存在极限与积分交换次序后不相等的例子，所以存在极限收敛不唯一的情况。这个问题后来在实变函数中，用勒贝格控制收敛定理完满解决；
★可微和可积的充分必要条件的不完备：魏尔斯特拉斯构造了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是这个函数在任何点上都没有导数，也即存在连续函数但处处不可微；同时狄利克雷也构造出处处连续，但是黎曼积分不存在的函数例子。这个问题，勒贝格通过引进勒贝格测度和勒贝格积分，重新定义积分概念，完满解决；
★级数收敛条件的不完备：也即存在函数展开的级数不一定能够收敛到原来函数的例子。这个问题在实变函数中解决，这个问题的解决方法后来发展成为调和分析的核心内容。
所以实变函数要解决的核心问题就是极限交换的问题（其实数学分析中的大部分问题最后都可以归结为极限交换的问题）。
上述问题可以用一个例子来描述：例如用狄里克雷（Dirichlet）函数f可以构造一个黎曼可积的函数序列{f_n（x）}，这个函数序列是收敛的，但是极限却是个不可积函数，所以此时 lim∫f_n(x)dx不等于∫limf_n(x)dx，也即积分与极限不可交换。
其实还有例子可以证明就算limf_n(x)也可积，lim∫f_n(x)dx也不一定等于∫limf_n(x)dx。
显然上述问题本质是黎曼积分定义有致命的缺陷，导致黎曼可积的充分必要条件太苛刻。实变函数解决这个问题办法很简单：放弃黎曼积分定义，重新定义积分，也即勒贝格积分。
一般来说，要交换两个极限，需要其中一个极限过程具有某种一致收敛性。一致收敛是数学分析中最重要的概念之一，它给出了极限交换的一个充分条件。然而，这个条件并不好用，因为其限制性过强。而实变函数的核心定理（或核心成就）Lebesgue控制收敛就是一个好用得多的判定条件，这也体现了Lebesgue积分的优越性。
积分与极限可以交换顺序是用数值方法进行近似计算的基础，因为如果函数序列积分的极限不能收敛到极限的积分，那么数值计算就无法进行。所以数值计算为了验证积分与极限的交换性，需要耗费大量的精力，所以极为需要一个判定定理，确定积分与极限可以交换顺序充分必要条件。
可积性问题直到在实变函数中才能彻底得到解决。使用勒贝格控制收敛定理，我们容易得到结论：黎曼可积性充分必要判别条件是区间[a，b]上的函数f（x）的间断点集是个勒贝格零测集。Lebesgue积分弥补了Riemann积分的缺陷，不仅大大扩大了可积函数的范围，也使得积分与极限交换顺序问题变得异常简单。
4、实变函数的思想
实变函数是从推广黎曼积分开始的。
先回忆一下Riemann积分定义：
假设y=f（x）是区间［a，b］上的函数，若存在某个常数A，使得对区间［a，b］的任一分割Δ:a=x0<x1<x2<…<xn=b及任意ξi（ξi∈［xi，xi+1］，i=0，1，…，n-1），只要max{0≤i≤n-1}（xi+1-xi）→0，就有：
黎曼和式∑_i=0^n-1f（ξi）*（xi+1-xi）-→A，则称f在［a，b］上Riemann可积， A称为f在［a，b］上的定积分。
从上述黎曼积分定义可以看出，如果f（x）在［a，b］上黎曼可积，则对［a，b］内任一充分小的邻域，f（x）在其上值的变化不能太大，否则黎曼和式的极限可能会不存在。由此看来，黎曼和式对函数有特定的要求：它要求这些函数是连续的。由于连续性条件过苛刻，所以Riemann积分的定义有局限。
勒贝格（Lebesgue）从直观几何角度提出了勒贝格积分：
放弃了对函数的定义域进行分割并进而求和的方法，转而对函数的值域进行分割：
［a，b］上有界函数y=f（x），假设m≤f（x）≤M，对［m，M］作任意分割：c0<m<c1<c2<…<M<cn，则对f的定义域中任意x，f（x）必定位于某个（ci，ci+1]中。考虑所有其值位于（ci，ci+1] 中的那些x，即（ci，ci+1]的原像，记作Ei=｛x|ci<f（x）≤ci+1｝。直观上看来，当y=f（x）连续时，Ei是一些区间的并。
先假定f是连续的，这样Ei就有长度，即几个（也可能是无穷多个）小区间长度之和，作和式：
S（f）=Σ_i=0^n-1ξi|Ei|， ci<ξi ≦ ci+1
（也可以f（xi）代替ξi，xi∈Ei），其中|Ei|表示那些小区间长度之和。当max_i（ci+1-ci）→0时，S（f）的极限就是f的Riemann积分。这就是说，用上述方法分割求和相对于连续函数来说与Riemann积分是一样的（在一元函数情形，凡Riemann可积函数在这种意义下都是可积的）。
如果f在［a，b］上不连续，此时Ei就未必是区间组成的了，这从狄里克雷函数便可看出，因而Ei就没有通常的长度了，S（f）自然没有意义。要解决这一问题，就有必须对一般的集合Ei建立长度和面积的概念，这就是测度的概念。
所以测度是实变函数的基础概念，是在无穷集合上推广距离或面积之类量度概念。
显然可以得到定义：使得Ei勒贝格可测的函数f就是勒贝格可测函数，使得S（f）有极限的函数就是勒贝格可积函数。
这种可积定义的角度和观点与黎曼积分不同，价值在于把可积函数的范围扩大了，发现了积分与极限交换顺序等问题的充分必要条件，为泛函分析的产生奠定了基础，也使得概率论成为近代数学的一个分支。
下面介绍实变函数这门课的核心内容。
实变函数这门课的核心是Lebesgue积分，可以说一门实变函数课程，就是介绍了勒贝格积分，和基于勒贝格积分概念得到的积分极限交换条件。
勒贝格积分克服了Riemann积分的缺陷，比如对微积分基本定理, Riemann可积, 积分与极限交换次序等过于苛刻的条件进行放宽，得到了一系列简洁而又非常实用的结果。
二、欧氏空间R^n中的点集拓扑
前面已经说了，实变函数最基础概念是在无穷集合上定义距离和面积等等概念，也即定义测度。而要讨论测度问题，首先得解决距离或面积之类概念在无穷集合下的推广问题，这就是欧氏空间R^n中的点集拓扑要讨论的，这是实变函数的基础。
点集拓扑是数学系二年级的基础课程，培养学生透过现象看本质的能力，通过一些不变量了解对象的本质性质。点集拓扑最著名的定理是布劳尔（L. E. J. Brouwer）不动点定理（简单说就是：每一个从一个欧几里得空间的某个给定的凸紧子集映射到它自身的连续函数f(x)都有(至少)一个不动点。也即存在一个点x0，使得f(x0)=x0。是刻画欧几里得空间之拓扑性质的关键定理。更一般化的定理是Schauder不动点定理：每一个从一个巴拿赫空间的某个给定的凸紧子集射到它自身的连续映射都有(至少)一个不动点。阿罗用不动点定理证明了供需均衡点的存在，这个定理是整个微观经济学能够成立的基础定理。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。
拓扑学的意思是连续几何学或一对一的连续变换群下的几何学，主要研究连续变换下的不变量，而不是传统几何研究的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系，也不讨论两个图形全等的概念，而是讨论连续变换下等价的概念。这种连续变换又叫拓扑变换，形象的描述是在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变的量，在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。也即这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。所以拓扑学也叫橡皮几何学。
例如在拓扑学中，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但是在拓扑变换下，它们都是等价图形。当然环面不具有这个性质，把因为球面不能通过连续变换变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的任何变形就是拓扑变换，就存在拓扑等价。
拓扑学目前有两个分支。一个是用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学，另一个是用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。
使用抽象代数来研究拓扑空间就是代数拓扑(Algebraic topology)，代数拓扑是用群环域来表示全部的拓扑不变量。
简单说就是代数拓扑为拓扑空间赋予一系列的群，这些群的结构反映了空间的拓扑性质。拓扑空间之间的拓扑映射诱导了群之间的同态，群同态的行为特征反映了拓扑映射的特质。目前主要是同调群和同伦群。
例如两个流形拓扑等价（拓扑同胚），当且仅当它们对应的代数结构同构。
代数拓扑可以计算拓扑空间的拓扑不变量，从而判定两个空间是否拓扑等价，例如计算曲面同伦群，如果同伦群平庸（即只有单位元），则曲面必为球面（在三维流形上的推广，就是鼎鼎大名的庞加莱猜想）；如果同伦群可交换，则曲面必为轮胎；如果同伦群存在有限阶的子群，则曲面必不可定向等等。拓扑不变量可以进一步将所有拓扑空间分类，例如所有可定向的紧曲面分类。
如果固定两个拓扑空间，考察它们之间所有的映射，代数拓扑方法可以区分映射的同伦类。例如，给定曲面到自身的两个同胚，判定它们是否同伦。
代数拓扑可以解决不动点的存在性和个数问题。许多计算问题最后归结为求解某种不动点：例如大多数的优化问题，解代数方程组问题，解某些偏微分方程等。
下面重点介绍点集拓扑。
1、拓扑空间定义
拓扑空间定义：设X是一个非空集合，X的一个幂集族τ（就是X中所有的子集,包括全集和空集构成的集族）称为X的一个拓扑。如果它满足：
★X和空集都属于τ；
★τ中任意多个成员的并集仍在τ中；
★τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,τ）。
称τ中的成员为这个拓扑空间的开集，开集的补集叫闭集。
这个定义直观解释是：给定任意一个集，在它的每一点赋予一种确定的邻近结构便成为一个拓扑空间。构造邻近结构有多种方法，常用的是指定开集的方法。顺便说一句，拓扑空间并不一定有距离或度量（测度）概念，在拓扑空间上定义距离或度量，就成为度量空间。
一个集合拥有不同拓扑，例如除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。
拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。拓扑空间是数学上最重要的概念。
任何集上总可以赋予拓扑。例如X的一切子集组成的族就是X上的一个拓扑, 叫离散拓扑，对应的空间叫离散空间；一个拓扑仅由空集与X自己所组成,叫平凡拓扑。如果集X上定义了一个度量或距离函数，那么X内可以用一些开球的并表示的一切子集组成X上的一个拓扑，叫度量拓扑。一切开球组成的集族称为这个拓扑的一个基(拓扑的一个子族B称为X的一个基，是指X的每个元可表为B的一些元的并。这时,也说拓扑是由B生成的。
一个集合可以拥有不同拓扑，例如除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。
拓扑空间例子：
★n维欧几里得空间R^n构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。
★任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
★任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的线性空间。
★流形都是一个拓扑空间。
★每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
★每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型。
★泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
★任何集合都可以赋予离散拓扑（设X是一个非空集合。则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是(X,T)的开集）。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
★任何集合都可以赋予平庸拓扑（设X是一个非空集合。则集合t：{X,φ}是X的一个拓扑。称t为X的平庸拓扑。显然（X,t）只有两个开集，X和φ，φ是空集）。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点，也即一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
★有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。
★可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。
★如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。
★一个具体的拓扑空间例子：设X={1，2}。则{X,Φ,{1}}是X的一个拓扑，{X,Φ,{2}}也是拓扑，{X,Φ,{1},{2}}也是拓扑。
2、连续映射，
微积分核心是讨论函数的连续性，可积性和函数列的收敛性等等性质，在实变函数或现代数学分析中，函数概念已经扩展到无穷集合的映射上，讨论映射的连续性和收敛性质。
在微积分中定义函数（映射）的连续性是从局部到整体的，先定义函数在某一点处的连续性，然后再定义函数本身的连续性。而在拓扑中，映射在某一点处的连续性的定义需要先定义邻域的概念。
拓扑空间映射定义：对于拓扑空间X内每一点x,拓扑空间Y内有惟一一点y与它对应。则称f是拓扑空间X到拓扑空间Y的映射。这个y叫x在f下的像,记为f(x)。
邻域定义：设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V ⊂ U，则称U是点x的一个邻域。点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系。如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域。
现在我们先将来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去。
连续映射定义：称f是连续映射是指对Y的每个开集G,其逆像f-(G)={x∈X｜f(x)∈G}是X的开集。
f为连续映射的等价条件有很多，例如：
★Y的每一开集的原像是X的开集。
★Y的每一闭集的原像是X的闭集。
★对于任意x∈X和f(x)的任意邻域V，存在x的邻域U使得f(U)⊂V。
★对于X的每一子集A，有f(cl(A))⊆cl'(f(A))。
★对于Y的每一子集B，有f^(-1)(cl'(B))⊇cl(f^(-1)(B))
定理：拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域。
局部的连续性概念和整体的连续性概念之间的联系有如下定理：
设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y，则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续。
这个定义在一般集合上描述了点与点或点与集合邻近的概念，这样就把收敛与连续的研究推广到一般集合上。这样一致性结构概念、抽象距离概念和近似空间概念等等都能够被定义。
由于X的每点有邻域，所以可研究一点的邻近，所以可以仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。
3、同胚映射
同胚映射是拓扑一个重要概念，两个同胚集合，在连续意义下是等价的，也即连续有关的性质和定理都可以继承。是一个重要的分类方法。
同胚映射定义：如果集合X内任意两个不同的点有不同的像，就称f是单射。如果集合Y内每一点必是集合X内某一点的像，就称f是满射。从拓扑空间X到拓扑空间Y的每个既单又满映射f必有逆映射g,它是Y到X上的既单又满映射，且g(y)=x当且仅当f(x)=y。这时如果f和g都连续，便称f为同胚映射。
或者等价于：若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的(直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个)
两个拓扑空间称为同胚的,是指它们之间存在一个同胚映射。要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。
例子：n维欧几里得空间R^n的任一开球作为子空间与R^n同胚。当m不等于n时,R^m与R^n不同胚。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚等等。
与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。
4、常见的拓扑不变性
点集拓扑中常见的拓扑不变性有：连通性、紧性、列紧性、分离性等。
（1）、连通性
连通性是点集拓扑学中的基本概念。其定义如下：
称拓扑空间X为连通的，若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭子集。拓扑空间X的子集E称为连通的，若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的。等价描述为：
★称拓扑空间X连通，若X不能表示成两个非空不交开集的并。
★称拓扑空间X连通，若当它分成两个非空子集的并A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空。
★称拓扑空间X连通，若X内即开又闭的子集只有X与空集。
连通的性质：
★实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间。
★连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质。
★设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的成员连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则X连通。
★若X,Y连通，则乘积空间X×Y连通
（2）、紧性
紧性是实变函数用得比较多的概念。定义如下：
称拓扑空间X紧，若X的任一开覆盖有有限子覆盖。称拓扑空间X的子集K为紧集，若能从X的任一覆盖K的开集族中取有限覆盖。
定理：连续映射把紧空间映成紧空间。
紧性的相关概念包括列紧（称X列紧，若X中的任一序列有收敛子列）； Bolzano-Weierstrass性质（称X具有该性质，若X中的任一序列有聚点）。
紧的性质包括：
★K为拓扑空间X的紧子集，当且仅当K是当其本身作为X的子空间时为紧集。
★Hausdorff空间的紧集为闭集（Hausdorff空间定义是：拓扑空间任意两点的开集都是不相交的空间。开集不相交，就说明无论两点之间如何靠近，它们之间总不会有公共的相邻点。这是一个非常常见的空间，我们在数学分析中能够见到的几乎所有空间都是豪斯道夫空间，例如实数是豪斯多夫空间，所有度量空间都是豪斯多夫空间，拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件。豪斯道夫空间中最重要的性质是：在豪斯道夫空间中，极限是唯一的）。
★紧集的闭子集为紧集。
★度量空间中，紧性、列紧型、Bolzano-Weierstrass性质三者等价。
根据拓扑空间中点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，可以对拓扑空间进行各种各样的分类。例如：
★拥有代数结构的拓扑空间：一个集合上有某种代数结构，可以定义拓扑结构为代数运算是连续映射即可。例如一个拓扑群G=拓扑空间+连续映射 （群乘法）+逆元素。
★有拓扑结构的度量空间：在度量空间中，使得加法与纯量乘法是连续映射即可。这是泛函分析的主要对象。可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。拓扑+代数结构，可以创新出新的领域。
简单介绍一下度量空间概念：
5、度量空间(Metric Space)
度量空间定义：设X为一个集合，d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，满足下述公理：
★正定性：d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；★对称性：d(x,y)=d(y,x)；★三角不等式：d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
简单直观说就是集合上任意元素之间的距离是可定义的就是度量空间。
度量空间中最典型的例子的三维欧氏空间，也即我们高中学的立体几何讨论的空间。这个空间中的欧几里德度量的定义就是两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
其实直到微积分，我们都没跳出过度量空间看世界。
在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念：xn→x0就是指d（xn,x0）→0。
点列{xn}称为柯西点列，是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时有d(xm,xn)<ε。
可以证明收敛点列一定是柯西点列，反过来不成立。
每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如，完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在唯一性定理。
度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间，称作X的子空间。如果每个开球{x∈X|d(x0,x)<r}都含有Y 的点，便说Y是X 的稠密子空间。一个空间的完备同一个集合的闭包是类似的，例如：
★有理数空间不是完备的，因为√2的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 √2 不在有理数空间内。
★实数空间是完备的。
★开区间(0,1)不是完备的。因为序列｛1/n}，n>2 是柯西序列但其不收敛于(0, 1)中任何的点。
在度量空间中，另外一个重要概念是紧致性。
定义：如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖 ，则称X为紧空间；如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间。
紧致性等价于：
★任何可数开覆盖都有有限子覆盖；
★每一无限子集都在空间中有聚点；
★每一点列都有收敛子列。
度量空间有如下核心定理：
★定理：度量空间中收敛序列的极限是唯一的。
★定理：每一度量空间X都是另一完备度量空间的稠密子空间，而且由X唯一构造出来。（例如实数直线就是有理数集的完备化。微积分逻辑基础被完善，就是基于这一重要定理）。
★定理：在完备度量空间中可数多个稠密开子集的交仍是稠密集。
不过必须强调的一点是：列紧性是拓扑空间性质，完备性是度量空间性质。直观的说，对度量空间而言，完备性是其中的点列收敛时会不会到度量空间以外的性质，而列紧仅仅是考虑存在收敛子列。对度量空间而言，列紧=紧=完全有界+完备分离公理。
提到分离公理（又叫做Tychonoff分离公理），稍微介绍一下：
6、分离公理
★T0公理：对于拓扑空间中任意两个不同的点x 和y，至少存在一个x 的邻域不包含y 或存在一个y 的邻域不包含x。（满足这条公理的拓扑空间叫做T0空间。又叫做柯尔莫果洛夫空间）。
★T1公理：对于拓扑空间中任意两个不同的点x 和y，存在一个x 的邻域不包含y，且存在一个y 的邻域不包含x。
★T2公理：对于空间中任意两个不同的点x 和y，存在不相交的邻域。（豪斯道夫空间）
其中豪斯道夫空间是常用的，有非常多的性质：
★Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集。
★在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集。
★从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射。
★从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚（因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚）。
7、集合的内点与聚点
在微积分中，我们知道欧氏空间中点集的内点、聚点等概念是定义开集、闭集、自密集、完备集、孤立点集、离散点集的基础。下面进行拓扑空间中的推广。
★内点定义：一个点某个邻域内的全部点都在集合里面，包括它本身。
★聚点定义：一个点任意空心邻域内，有集合内部的点，但它本身可以是集合的点，也可以不是。（严格定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，一般记作E。设P0是XOY平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0距离小于δ的点的集合，称为P0的邻域，记为 U(P0,δ)，去心邻域指不包括P0本身的邻域。给定平面点集E，对于任意给定的δ>0，点P0的去心邻域内，含有E中的点，则称为P0是E的聚点）。（聚点另外的定义：在集合内存在收敛到该点的序列）由聚点的定义可以知道，点集E的聚点P0本身，可以属于E，也可以不属于E。此聚点要么是内点，要么是边界点。
★外点定义：一个点某个邻域内的全部点都不在集合里面，包括它本身。
★孤立点定义：一个点某个空心邻域内的全部点都不在集合里面，但它本身是集合的点---这是与外点的差别。
★界点定义：一个点任意空心邻域内的点，有不在集合里面的点，也有集合内部的点，但它本身可以是集合的点，也可以不是。
内点和界点是聚点，外点和孤立点不是聚点非孤立的界点才为聚点
聚点为极限点。
★布尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（这是点集拓扑的基本定理）：任何有界序列至少有一个有穷的聚点，如这个聚点是唯一的，则它就是该序列的有穷极限。
再介绍点集拓扑的研究方法：
8、超穷归纳法
超穷归纳法不是数学归纳法，但是包含数学归纳法。
数学归纳法的原理很直观，多米诺骨牌可以形象地展示数学归纳法。
超穷归纳法不像数学归纳法那么容易理解。
想了解超穷归纳法，首先得定义良序集。
★良序集定义：如果在一个集合中规定了一种顺序关系（这种序关系满足一些基本的法则，如反身性、对称性、传递性等），且这个集合中的每两个元素间都有序关系，则称该集合为一个全序集，如果全序集的任意非空子集都有最小元（也即存在唯一的最小序的元素），则称该序为良序集，而这种序关系称为良序关系。
良序集的最简单例子是自然数集，全序集但非良序集的最简单例子是实数集（因为实数集合的子集未必有最小元）。
★偏序集定义：如果一个集合中定义了一个序关系，但该集合中并非任意两个元素之间都有序关系，则称该集合为偏序集。
偏序集最典型的例子是复数集，按照通常的大小关系，虚数之间是不可以比较大小的，即没有序关系，只有其实数子集中的元素才有序关系（如果在复数集中重新定义序关系，也可以使得复数集成为一个全序集。
一个集是偏序集还是全序集是相对于特定的序关系而言的。
★定义：设 S是一个偏序集，A是S的子集，b是S的元素，如果对A中任意的元素x，都有x≤b（x≥b），则称b是A的一个上界（下界）。如果存在S中的元素a，使得S中不存在x，使得a≤x（a≥x），且a不等于x，则称 a是S的一个极大元（极小元）。
★Zorn引理（超穷归纳法）：如果偏序集 S中的任何全序子集在S中都有上界（下界），则S中一定存在极大元（极小元）。
显然，超穷归纳法包含数学归纳法：
假设Sn是与自然数n有关的命题，满足条件：存在n0使得Sn0成立；若Sn对n=k>n0成立，则对n=k+1也成立，就证明了Sn对一切不小于n0的自然数成立。
记N0={n|n为不小于n0的自然数}，F={A|A是N0的子集，且对A中任意的n，Sn成立}，显然F按集合的包含关系构成一个偏序集，假设F1={Ab|b∈B}是F的全序子集，则A=∪b∈Bab是F1的上界，由Zorn引理，F有极大元。假设C是F的极大元，可以证明C=Nn0（不小于n0的自然数集）。事实上，若C不等于Nn0，任取n1∈Nn0-C，则C∪{n1}是包含C的F中元素，这与C为极大元相矛盾，所以必有C=Nn0，换句话说Sn对一切不小于n0的自然数成立。
最简单的例子是考虑某个集合的子集簇，以集合的包含关系作为序关系，则在此关系下，该子集簇构成一个偏序集，我们可以利用Zorn引理证明这样一件事：假设B是集合A的所有子集构成的集合，则B有唯一的极大元A。
9、涉及实变函数的基础定理：实数的完备性公理
牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时的逻辑基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，大量优秀的数学家在解决这些问题时，发现了大量的实数完备性公理。
实数完备性有七个基本定理，包括单调有界定理，区间套定理，确界定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西收敛定理，上述七个定理可以互相循环证明，也可以相互证明，是等价定理。
这七个定理是从不同角度描述了实数集的一个性质：实数集关于极限运算是封闭的。即实数的连续性之间相互等价，均可作为公理。可以互相证明说明等价而不是循环论证。
而魏尔斯特拉斯聚点定理是其中重要的。
★魏尔斯特拉斯聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。
聚点定理一般形式：列紧空间的任何序列都含有收敛子列（继而含有聚点，但是这个聚点不一定还在这个空间中）。
魏尔斯特拉斯定理是实分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，因为它是很多拓扑空间所共有的性质（当赋予聚点拓扑含义，并而建立列紧性的概念后（列紧性就是指：对于度量空间X中的集合M，M的任何序列都含有一个收敛的子序列(这个子序列的极限未必还在M中)，列紧性成为衡量度量空间性质的重要标准，是研究度量空间的重要几何概念）。
魏尔斯特拉斯聚点定理也是数学定理公理化第一次实践。
★有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]。
开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，(即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间)。若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S。若H中的开区间的个数是有限的，那么就称H为S的一个有限覆盖。
有限覆盖原理是把数学问题分而治之，做局部化处理，是数学分析常用技巧。
例如微积分中，闭区间上连续函数性质的证明，就可以利用有限覆盖原理来证明（将区域进行剖分来证明的）。
但对区间剖分的方法很难推广到欧氏空间中一般的有界闭集，有限覆盖原理则适用于更一般的情形。
但是有限覆盖只完成了从整体到局部的过程，最终还得还原为整体问题。
★单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。
★区间套定理：设闭区间列{ [an,bn] } 具有如下性质： [an,bn]包含[an+1,bn+1 ],n=1,2,…; (其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an,bn]的子集)；lim (bn-an)=0 (n→∞),则称{ [an,bn] } 为闭区间套,或简称区间套。若{ [an,bn] } 是一个区间套,则在实数R中存在唯一的点ξ,使得ξ∈[an,bn],n=1,2,…,即 an≤ξ≤bn,n=1,2,…（这个定理实际上表明了实数的完备性：实数是连续地充满整个数直线而没有间隙,而有理数就不具备这个性质）。
推论：闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推，这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0(即这些区间的测度（长度）最终会趋近于0)，则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
★确界定理：任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)；同样任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。（在扩张的实数系R中，非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。在R中任何非空集都有上、下确界）。
★致密性定理：有界数列必含有收敛子列。
★柯西收敛定理：在实数系中,数列{ xn }有极限存在的充分必要条件是: 对于任意给定的ε> 0, 存在正整数 N, 当 n >N, m>N时,有 | xn - xm | <ε 。
10、分形集简介
分形集就是病态的集合。最简单的分形集例子是康托三分集。
（1）、康托三分集
将区间[0，1]三等分，挖掉中间的开区间（1/3，2/3），余下两个区间[0，1/3]，[2/3，1]，再将这两个区间三等分，挖掉中间的开区间（1/9，2/9），（5/9，6/9），余下四个区间[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]，[8/9，1]，依此方法不断挖下去，操作n次后，最后剩下的集合记为C，称它为康托（Cantor）三分集，是位于一条线段上的一些点的集合，是个测度为0的集，也是一个无处稠密的完备集。（康托三分集的边长r=(1/3)^n，边数N®=2^n，根据集合维数公式D=lnN®/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631，所以康托三分集是分数维的。）
康托三分集有三条性质：
★是完备集。
★没有内点。
★基数为c（[0，1]的集合基数为c）
康托三分集是一个基数为c的疏朗完备集。
康托三分集的发现很重要，因为奠定了现代点集拓扑的基础，也是分形几何的出发点，而分形几何是现在资本市场和期货市场交易模型采用的主要工具。
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
简单说，任何一个分形集一定是不含任何区域的集合，例如，直线上的分形集不可能含线段，平面内的分形集一定不含任何圆，不管这个圆的半径多么小，这样的集合无论是局部还是整体都无法用传统的几何语言来描述。
康托三分集具有：自相似性；精细结构；无穷操作或迭代过程；用传统的几何难以描述（既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在）；长度为零；简单与复杂的统一。
康托三分集让传统微积分和传统几何学陷入危机。这也就是点集拓扑发展的另外一个支撑点。例如对区间如何计算长度，对区域如何计算面积，我们根据前面介绍欧式空间性质，根据其连续的假设，都能在定义的度量上用黎曼积分进行计算，但是对康托三分集这种集合，就只能用测度。举例来说，假设E是直线上的一个有界集合。用一列开区间I_n（n=1，2，3，…）把它盖住，即I_n的并集∪I_n包含了E，I_n的长度当然是可以求的，用|I_n|表示I_n的长度，如果E有长度的话，当然应该小于盖住它的那些区间序列的长度之和：Σ|I_n|≥|E|（注意|E|尚未定义，只是假设存在）。由于盖住E的开区间序列很多，所以取Σ|_In|的最小者，这个最小者可能是达不到的，所以微积分里有个词叫下确界，这个最小者称为E的外测度。
A，B是两个不相交的集合，在集合连续假设下，则应该有|A∪B|=|A|+|B|，但是外测度不一定具有这种性质，于是产生了不可测集的概念（有点象Riemann不可积函数）。满足某种可加性的集合称为可测集，否则称为不可测集。
例如设{rn}为有理数全体，对任意的ε>0，令In=（rn-ε/2^n， rn+ε/2^n），则∪I_n包含了{rn}，于是Σ|I_n|>|{rn}|，Σ|I_n|=2ε，由于ε是任意的，所以|{rn}|=0，这就是说，有理数集的长度（测度）为0，
再来看看Cantor集C，第一次挖去了1/3长度，第二次挖去了两个1/9长度，第三次挖去了四个1/27长度，依此类推，第n次挖去了2n-1个1/3n长度，从而挖去的总长度为Σ2^n-1/3^n=1。所以C的测度（长度）=0。直观上C所含的点很少了，所以C在[0，1]中任何点处都不稠密。而有理数集合是处处稠密的，那么直觉上是有理数集所含的点比C中的点多，但是这种直觉是错的，可以证明C中的点与[0，1]区间一样多。这就是康托三分集的特殊之处。
（2）、豪斯道夫维数
上面的勒贝格测度概念显然无法区分有理数集与Cantor集，我们需要更精细的测度。
于是Hausdorff测度就产生了。
勒贝格测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合，从而得到一个级数Σ|I_n|，当取最小值时，可能其值等于0，如Cantor集与有理数集。
可是如果给|I_n|加上一个小于1的非负指数α，即考察级数Σ|I_n|^α，很容易证明，加上指数α后，级数可能收敛也可能发散，这样就出现一个临界状态，即存在某个数d，当α<d时Σ|I_n|^α永远等于∞，当α>d时，Σ|I_n|^α的最小者（下确界）等于0，只有当α=d时Σ|I_n|^α的最小者才是个非零的有限数。我们把d称为集合的Hausdorff维数，也称为分数维。
说是分数维，其实这个数完全可能是无理数，例如Cantor集的维数是log2/log3（可以通过自相似性公式来计算），有理数集的维数是0。
分形几何就建立在分数维上（这是超出直觉的，学过几何都知道，维数是几何的特征量，它是一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，平面或球面是二维，直线或曲线是一维，立体几何是三维。通常习惯于整数的维数）。
扯分数维，就不得不扯扯豪斯多夫。波兰人豪斯多夫是一般拓扑学的奠基人，他创建并完成了拓扑和度量空间的理论，直到今天仍是数学的基础理论，他最重要的贡献是建立了完整的公理化研究数学结构和数学空间体系，把希尔伯特(Hilbert)和外尔(Weyl)的公理化方法扩展到整个数学基础，例如把公理化用于微分几何中黎曼曲面的邻域概念，用公理化语言定义了拓扑空间。
豪斯多夫还在拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树。（现代数学，波兰人有很重要地位，泛函分析奠基人巴纳赫，斯坦因豪斯，拓扑学奠基人豪斯道夫）
豪斯道夫定义的豪斯道夫维数，把集合维数从离散整数扩展到连续。
1919年，豪斯道夫从测度的角度引入了分数维概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。豪斯道夫维数本质上是连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的。
分数维是物理学研究混沌吸引子的基础概念，因为混沌的吸引子就是分数维的。（本质分数维展示的是事物非规则的程度）。
豪斯道夫定义分数维基本思想是从直觉开始的。一个集合的维数是描述这个集合中一点所需的独立参数的个数。比如要描述一个平面里的一点需要两个坐标X和Y，那么平面的维数便是2。但是有的不规则的集合，比如分形维数就不是整数。
设想有一个由三维空间内具有有限大小的点组成的集合，N是用来覆盖这个集合内所有点所需的半径为R的球体的最少个数，则这个最小数N是R的一个函数，记作N®。显然R越小则N越大，假设N®和R之间存在一个反比的关系，我们把这个关系记作d=lnN®/lnR
当R趋向于0时，我们得到极限d就定义为这个集合的豪斯多夫维。
当然除了球体以外，也可以使用正方体或其它类似的物体来覆盖集合内的点。
如果是在一个二维平面内，则使用圆而非球体。在一个n维空间内，就使用相应的n维物体。
对于一条有限长度的曲线，所需的覆盖物体的个数和它的半径成反比，那么曲线的豪斯多夫维数为1。对于一个平面而言，所需的球体的个数明显和它的半径的平方成反比，那么这个平面的豪斯多夫维数则为2。
设想一个特殊的几何物体，这个物体由n个大小一致且互不重叠的小物体组成，这些小物体的形状和这个物体本身相同。若这些小物体和大物体的大小比例为1:m，那么这个几何物体的豪斯多夫维数为d = log(n)/log(m)。
豪斯多夫维可以给一个任意复杂的点集，比如分形（Fractal）赋予一个维度。对于简单的几何目标比如线、长方形、长方体等豪斯多夫维等同于它们通常的几何维度或者说拓扑维度。
豪斯多夫维的计算很不容易。
（3）、Borel集
Borel集是拓扑空间中的开集经过至多可数次的交、并、差运算得到的σ-域中的元素，也可以说成拓扑空间中含开集的最小σ-域中的元素。
σ代数或σ-域是一个集合组，对于这个集合组满足三个条件：
★空集属于这个集合组
★若A属于，那么A的补集也属于
★对于一个集合序列，若它们都属于，那么它们的极限也属于。
对于一个集合X，它的最小的σ代数是空集和它本身组成的集合组，最大的集合组是它的所有子集组成的集合组。
R^n中一切开集构成的开集族，生成的σ代数称为Rn的borelσ代数，它其中的元素称为 borel集。
borel集对于测度概念非常重要，因为每个定义在开集上或者闭集的测度，都需要在哪个空间的所有的borel集上定义。
定理： Borel集合的个数与实数的个数一样多。
用二进制很容易完成证明由两个元素组成的所有可能的序列构成的集合与实数一样多。
推而广之：由k个元素组成的所有可能的序列构成的集合与实数一样多。
把交、并、差这三个运算可以看着三个元素，所以由这三个元素组成的所有可能的序列与实数一样多，而一个Borel集可以与一列开集及交、并、差组成的一个序列相对应。而开集的个数与实数的个数一样多，所以在Borel集与一列和实数一样多的集合之间做一个对应关系，后者与实数一样多，所以Borel集与实数一样多。即：Borel集全体具有连续势。
后面我们会介绍：任何零测集都是Lebegue可测集。Cantor三分集是个零测集（直观上相当于区间的长度为0），然而它的元素与实数一样多（这是超出人类直觉的现象），假如把Cantor集所含元素的个数记着c，那么Cantor集的所有子集构成的集合所含元素个数就是2c。而零测集的任何子集还是零测集，从而可测，所以可测集的个数不小于2c。而Lebesgue可测集是欧氏空间的一个子集，而欧氏空间中的点与实数一样多，所以可测集全体不会大于2c了。由此可见，Lebesgue可测集远比Borel集多。
顺便说一句，目前分形几何在构造股票交易模型中，做得很成功，因为股票交易信息构成的集合是分形集，不符合大数定理，也即按照大数定理和马尔可夫过程为基础构造的资本资产定价模型，时间序列分析模型，统计预测模型，均衡交易模型等等都不符合股票市场实际情况，所以错的机会比较多，基本属于不靠谱的碰运气。分形几何能够比较好的处理股票交易信息分形集特点。这方面有很多英文专著，是一个热点。
三、勒贝格测度
测度直观上就是求面积，按照Riemann积分的思想是将函数的定义域作分割，然后分别用若干小矩形从外面包住曲边梯形，同时用另一些小的矩形从里面尽量填满曲边梯形，随着分割的加细，如果内外小矩形面积之和趋于同一个值，就把这个极限称为对应函数的定积分（曲边梯形的面积）。
显然用矩形从外面包住一个集合并不难，难的是集合的内部未必包含任何矩形，例如，不可能从有理数集合里找到任何区间。所以只能考虑从外部逼近，即用一些小矩形包住一个给定的集合，这就是外测度的思想。
最早勒贝格定义测度是构造一个外测度和内测度，当内测度=外测度时，定义为勒贝格可测，外测度=测度。虽然这个定义很直观，但是内测度很难构造，在实践中不太可行，所以就有了下面的定义。
1、外测度的定义
设E ⊂R^ n，记 R^n中的开区间I={x=(x1,x2,…xn)|ai＜xi＜bi,i=1,…n}，其中为ai≤bi为有限数，则称I为区间（显然R^n =R^1时，I即为R1上的区间）。｛I_i｝是R^n中覆盖E的任一列开区间，即E⊂∪I_i，把覆盖E的可数个开区间的体积之和的下确界称为E的勒贝格外测度，简称为E的外测度，记为m*€或|E|e，即m*E=inf{∑i∈N| I_i |},{I_i}为覆盖E的可数个开区间。
∏_i=1^n(bi-ai)为区间I的体积。
在R^n中，区间I的外测度等于它的体积，即m*I=|I|。
在R中，开集的外测度等于它的构成区间长度之和，并且对于R^n中任意点集E它的外测度等于包含E的开集G的外测度的下确界，即m*€=inf{m*(G)|G是包含E的开集}。
下确界定义：有界集合S，如果ξ满足以下条件：
★对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界;
★对任意β>0，存在x∈S，使得x<β+ξ。
则称ξ为集合S的下确界，记作ξ=infS
下确界公理：任何有下界的非空数集必有下确界。
2、R^n中点集的外测度具有下列基本性质
★非负性：m*€≥0，m*(∅)=0。
★单调性：若E1⊂E2，则m*(E1)≤m*(E2)。
★次可加性：m*{∪_k=1^ n Ek}≤∑_k=1^n m*(Ek) 。
★若集E1,E2⊂Rn，它们的距离ρ(E1,E2)>0，则m*(E1∪E2)= m*(E1)+ m*(E2)
（这是开集为可测集的基础）。
3、测度的定义
定义：若m*为R^n上的勒贝格外测度，E⊂R^n且满足对任意点集T⊂R^n，有
m*(T) =m*(T∩E)+ m*(T∩Ec)（Ec是相对Rn的E补集），则称集E为勒贝格可测集，这时测度=外测度。
显然，一个区间[a, b]的勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
康托三分集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
如果用公理定义测度和积分，一般把测度看成定义在集合 E的某些子集组成的集合X上的函数（映射）m，它能将实数集的子集E映射为非负实数mE。称这样的映射（集函数）为集合E的测度。
由于Lebesgue测度是面积或体积概念的推广，所以必须保持通常意义下体面积的特性：
★非负性；
★当集合为区间时，其测度即为区间的体积；
★完全可加性即当{Ei}为一列互不相交的有测度的集合时，∪_i=1^∞Ei的测度恰好为每个集的测度之和。
所以函数m具有以下性质：
★mE对于实数集的所有子集E都有定义，若E是勒贝格可测集，则mE≥0。
★对于一个区间I，mI应当等于其长度（端点数值之差）。
★如果{En}是一列不相交的集合，并且m在其上有定义，那么：
m(∪_i=1^∞Ei)=∑_i=1^∞m(Ei)
★m具有平移不变性，即如果一个m有定义的集合E的每个元素都加一个相同的实数（定义为{x+=y|x∈E}，记作E+y），那么m(E+y)=mE。
4、R^n上的勒贝格测度有如下的性质
★如果E是区间I1 × I2 × … × In 的 笛卡尔积 ，那么E是勒贝格可测的，并且mE=∏_i=1^n|Ii| ,其中 |Ii| 表示区间Ii的长度。
★如果E是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么E也是勒贝格可测的，并且mE就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
★零测集是可测集，外测度为0的集为可测集，零测集的任何子集为零测集，从而也为可测集，至多可数个零测集的并集仍为零测集，从而也为可测集。
★R^n中任何区间I都是可测集，且mI=|I|。
★R^n中的开集，闭集及Borel集都是可测集。
★如果E勒贝格可测的，那么它的补集Ec（相对于R^n）也是可测的。
★如果A与E是勒贝格可测的，且A是E的子集，那么mA≤mE。
★可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。
★如果E是一个开集或闭集，且是R^n的子集，那么E是勒贝格可测的。
★如果E是一个勒贝格可测集，并有mA= 0 (空集)，则E的任何一个子集也是空集。
★如果E是勒贝格可测的，x是R^n 中的一个元素，E关于x的平移（定义为 E+x = {a+x:a ∈ E}）也是勒贝格可测的，并且测度等于mE。
★如果E是勒贝格可测的，δ＞0，则E关于δ的扩张（定义为δE={δx:x∈E}）也是勒贝格可测的，其测度为δ^n*mE。（推广：设T是一个线性变换,E是一个R^n 的勒贝格可测子集，则T€也是勒贝格可测的，其测度为|det(T)|mE。（det是determinant的缩写，行列式）
★如果E是R^n勒贝格可测子集，f是一个E到R^n上的连续单射函数（连续函数，且满足对于x1,x2∈E，x1≠x2推出f(x1)≠f(x2)，则f(E)也是勒贝格可测的。
用外测度定义的测度，可以为N维欧几里得空间的子集定义测度（广义的面积和体积），可以为R^n的哪些子集拥有测度这个问题提供一个系统性的回答（实际上不可能为 R^n的所有子集都定义测度，也即不时所有集合都有面积体积长度的），也即存在不可测量的子集类。
勒贝格测度中，最重要的概念是可测集本质就是有限个区间的并。
另外外测度只有次可加性，那些不满足可加性的集合就是不可测集，可测集都是可加的，这也是判断勒贝格可测集的依据之一。
5、抽象测度定义
定义：假设R是非空集合S的一簇非空子集簇，如果R中的元素对于集合的有限或可数交、并、差运算封闭，则称R是S的子集构成的σ环。（例如S是实数集R1，R是R1的子集构成的簇）。（群、环、域的概念在介绍伽罗华时我们介绍过，也即在一个集合上定义某种运算，运算服从某种规则，常见的有有限群，交换群，有理数域、实数域等。在实变函数中，也要用到域的概念--σ-域）
定义：抽象测度μ是σ环R上满足如下条件的函数：
★（非负性）对任意E∈R，μ（E）≧0；
★（单调性）对任意E、F∈R，若F是E的子集，则μ（F）≦μ（E）；
★（可数可加性）设En是R中一列互不相交的序列，μ（∪nEn）=∑nμ（En）。
则称μ是R上的测度（也即如果两个集合互不相交，则其并集的测度等于两个集合的测度之和）。
从上述定义，说明抽象测度不过是将Lebesgue测度的基本特征提取出来作为公理。
Kolmogorov就是基于公理化测度定义了概率，建立了现代概率论。所以现代概率就是抽象测度，所以现代概率并不是模糊概念，而是有严格逻辑基础的，概率论也因此成为数学的一个重要分支（在柯尔莫哥洛夫以前，概率不算数学）。
显然，σ域必为环，类似的，可以定义抽象测度。
σ环上的测度定义：设Ｒ是非空集合X的一个σ环， μ是Ｒ上的一个集函数（μ是以集为自变元，取值是实数或±∞的函数，则称μ是Ｒ上的集函数），如果μ满足： μ(φ)=0 ，φ是空集合；非负性；完全可加性；则称μ是Ｒ上的测度。
σ环上测度的一些基本性质：
μ是σ环Ｒ上的测度，则μ具有
★有限可加性：即如果E1，E2….，Ek是Ｒ上有限个两两不交的集，
则 μ｛∪_i=1^kEi｝= ∑_i=1^kμ(Ei)
★单调性：即如果E1，E2∈Ｒ,且E1 E2，则μ(E2)≥μ(E1)
★可减性：即如果E1，E2∈Ｒ,且E1 E2，μ(E1)＜＋∞,则μ(E2/E1)＝μ(E2)-μ(E1)
★次可列可加性：即如果En∈Ｒ, n=1,2,…, E∈Ｒ,且E ∪_n=1^∞En，则μ€≤∑_n=1^∞μ(En)
★如果En∈Ｒ, n=1,2,…, 且En, En+1∈Ｒ, ∪_n=1^∞En∈Ｒ，则μ(∪_n=1^∞En)=lim_n->∞μ(En)
★如果En∈Ｒ, n=1,2,…, 且En , En+1,∩_n=1^∞En∈R，且存在Ek使μ(Ek)＜＋∞，则μ（∩_n=1^∞En）= lim_n->∞μ(En)
6、勒贝格可测集的基本性质
★若E1，E2都可测，则E1∪E2, E1∩E2也可测；若Ei,i=1,2,…,m,都可测, 则∪_i=1^mEi，∩-i=1^mEi都可测, 并且当Ei两两不交时,对任意T⊂R ,
m* {T∩(∪_i=1^mEi )}=∑_i=1^mm*(T∩Ei), T=∪_i=1^mEi时，m (∪_i=1^mEi ) =∑_i=1^mm Ei
★若Ei,i=1,2,…,∞,都可测,则则∪_i=1^∞Ei也是可测的，并且当Ei两两不交时,
总有对任意T ⊂ R, m* {T∩(∪_i=1^∞Ei )}=∑_i=1^∞m*(T∩Ei), T=∪_i=1^∞Ei时，
m (∪_i=1^∞Ei ) =∑_i=1^∞m Ei；∩_i=1^∞Ei也可测。也即可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是封闭的。若M表示R^n中的可测集全体, 则显然M是一个σ域。
★设En,n=1,2…为单调上升的可测集列，记S=∪_n=1^∞En =lim_n->∞En，则lim_n->∞mEn =mS;
设En,n=1,2…为单调下降的可测集列，E=∩_n=1^∞En= lim_n->∞En，若存在某个En0,使m En0＜∞, 则mE= lim_n->∞mEn 。
四、可测函数
实变函数的基本研究对象是可测函数，而可测函数是建立在集合的可测性基础之上的，也即是通过与函数有关的集合的可测性来定义可测函数的。
1、可测函数定义
定义：设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集E[f>a]恒可测（勒贝格可测），则称f是定义在 E上的（勒贝格）可测函数。或者设(X,F)为一可测空间，E是一个可测集。F: E→R（实数集）为定义在E上的函数。若对任意实数a，总有{x∈E: f(x)<a}∈F，则称f为E上的F-可测函数（简称E上的可测函数）。
可测函数判定定理：设f是定义在可测集E上的实函数，下列任一个条件都是在E上（勒贝格）可测的充要条件：
★对任何有限实数a，E[f>=a]都可测；
★对任何有限实数a，E[f<a]都可测；
★对任何有限实数a，E[f=<a]都可测；
★对任何有限实数a,b，E[a=<f<b]都可测。
★若可测空间是R^n上的Lebesgue可测空间。E是R^n中的Lebesgue可测集。则E上的可测函数称为Lebesgue可测函数。若可测空间取为R^n上的Borel可测空间，E是R^n中的Borel集，则E上的可测函数称为Borel可测函数。
如果(X,Σ)和(Y,Τ)是Borel空间，则可测函数f又称为Borel函数。所有连续函数都是Borel函数，但不是所有Borel函数都是连续函数。（可测函数几乎是连续函数）。
2、可测函数性质
★若f(x)与g(x)在E上(L)可测，且在E上几乎处处取有限值，则它们的和、差、积、商（分母不为零）均(L)可测；
★若{fn(x)}是E上的(L)可测函数列，则下列函数都是E上的(L)可测函数：
sup_n≥1fn(x)，inf_n≥1fn(x), lim _n->∞fn(x)(上极限）,lim _n->∞fn(x)；可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果{fn}是一个可测函数序列，在[−∞,+∞]中取值，那么lim_nsupfn也是可测的；
★若{fn(x)}是E上的(L)可测函数列，且以f(x)为极限，则f(x)在E上也(L)可测；
★若f(x)与g(x)在E上几乎处处相等，则它们或都(L)可测，或都(L)不可测；
★若f(x)在E上(L)可测，又E0为E的(L)可测子集，则f(x)在E0上也(L)可测；
★若f(x)在每个Ei上都(L)可测，则f(x)在∪_i=1^∞Ei和∩_i=1^∞Ei上也(L)可测；
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