哈密顿原理能不能用于人生路径优化选择？

前几天岳母以90高龄在安睡中平静去世，我通宵在灵堂守灵。遵义晚上很冷，半夜后只有几度，我带的衣服少了，冻得发抖，在灵鼎山殡仪馆灵堂只能来回走动，避免生病。

在来回徘徊中，难免胡思乱想。

我先想的是人生本质是什么，很快就觉得这不是一个问题，因为所有人的人生过程无非都是一个从生到死的过程，起点终点一样，只是中间几个关键节点不同，导致我们才有多姿多彩的人生。

而这种多姿多彩关键是在几个关键节点我们选择不同导致的。尤其在关键节点上个人努力程度或发挥自己潜力程度不同导致的。例如人生三大根本转折点：上什么大学，选什么职业和选择谁做自己的伴侣。

人生道路最终结果是什么，其实外界条件，家庭背景，天赋和运气都不是决定性的。人生的三个根本转折点都主要是自己目标和努力程度决定的。自己不够努力或目标不够清楚或目标太低，哪怕王侯后代，家财万贯，天纵英才等等都不会顺利得到想要的结果。这种例子身边比比皆是。

既然人生是过程，那么就必然存在多条路径，也就必然存在路径选择，也即存在人生路径优化。所以关键是路径优化原则是什么？我很自然的把理论力学中的哈密顿原理联想上了。

哈密顿原理直观上就是：在一个K+1维自由度（广义坐标q表示，q是K+1维向量），同时有N个外界变量的系统中，当我们确定起始点和目标终点后，面对外界环境扰动，系统会出现多条可行的实现路径，而在这些可行路径中，存在一条优化路径（直观讲就是最短路径）。

所以哈密顿原理又叫最小作用量原理。

哈密顿原理最早被直观的理解或发现是费马（就是那个提出数学上伟大猜想费马大定律的）。费马最早是从解释光在不同介质中为什么会发生折射来提出最短路径原理的。费马先假定如果光在任何介质中传递都一定选择最短路径，那么因为光的传播速度在水或玻璃中与空气中不同（这个结论其实当时并无严格实验证明，只是一种直觉），那么光在空气中和在水或玻璃中的路径一定不同，所以当光从空气中一点A到达水或玻璃中的一点B走的路线就不可能是直线，而必然发生折射，这样才能使光能最快地到达目的地。

所以当实验观察到光在水或玻璃中发生折射后，验证了两个假设：光在任何介质中传递都一定选择最短路径和光在不同介质中传递速度不同。这是光学的里程碑。后来由费马方程描述这个结果：Δ∫nds=0，其中n是折射率，而ds是光走过的一小段路线，由此是可以推得光学的基本定理。。

这条发生折射的光路径其实就是优化路径。

费马因此得出结论：自然界总是通过最短的途径发生作用的。

拉格朗日很快就把费马光折射原理推广到一般力学系统中，也即理论力学中的最小作用量原理。

拉格朗日是这样推广的：

首先定义作用量：假设一个粒子在t_a时从A点出发，在t_b时到达B点,考虑粒子从A到B所可能走的所有路径和走这一段路程的所有可能方式（例如对于一条特定路径，粒子可先慢走，然后加速一会儿，再慢下来，然后再加速等等）的拉格朗日函数L=T-V，也即粒子的动能减去势能，作用量S定义为拉格朗日函数L(q,dq/dt,t)从时刻t_a到t_b的时间积分，也即S=∫Ldt。（拉格朗日最伟大的发现就是发现了这个作用量的表达式，理论力学其实就是建立在拉格朗日运动方程上，就像牛顿力学的三大定律）；

然后考虑遍历AB之间所有可能路径的每一种行走方式这个集合，拉格朗日证明：这个集合中存在作用量最小的路径；

第三步将这个作用量对从t_a到t_b的整个期间累加起来。(假设动能是仅与粒子运动有关的能量，而势能则是一种贮存起来的可转换成动能的能量。例如，在地球表面附近的物体因重力的牵引而具有势能，物体离地越远，它具有的势能就越大。当物体下落时，它的势能就转换成动能)；

第四步是选择作用量最小的路径的最小方式，也即真实的运动使作用量取极小值。

用数学表达，哈密顿原理(最小作用量原理)为：拉格朗日函数L(q,dq/dt,t)（拉格朗日函数在力学中常用的形式是L=T-V，也就是动能减去势能）从时刻t_a到t_b的时间积分的变分等于零。数学形式为ΔS=Δ∫Ldt=0，S为作用量，Δ是变分计算。计算这个变分，就可以得到最优路径的最优方案的动力学方程。

上述描述直观就是系统从时刻t_a的某一位形转移到时刻t_b的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。

最简单的例子是自由落体运动。假定下落有无穷多种可能的方式，例如开始落得慢些，然后逐步增加速度；或者开始落快一些，然后再逐步慢下来。由于作用量是动能减势能并对所有可能下落方式作累加。显然作用量最小的那一个下落方式满足以下条件：增加在高处呆的时间，因为势能随到地面的距离的增加而增加，在高处花的时间多可以减去更大的势能，导致作用量变小。所以最优路径最优的下落方案是：下落时是先慢后快。

用微积分，很容易证明最优路径有如下性质：用定常加速度由慢变快的下落。

由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程：d/dt·∂L/∂q^-∂L/∂q=0（记广义坐标q对时间的微商dq/dt=q^）。

可以认为拉格朗日方程就相当于牛顿方程，只是拉格朗日采用了广义坐标，并不像牛顿方程中使用的坐标那样必须是位形空间中的坐标。q的含义比x要更广泛的多。

除了拉格朗日方程以外，还可以推出哈密顿正则方程：q^=∂H/∂p,p^=-∂H/∂q（其中H是哈密顿量，它一般等于T+V，但并不是所有时候都正确。记dq/dt=q^，dp/dt=p^）；以及哈密顿-雅可比方程：∂S/∂t+H(p,q,t)=0，这个方程的参数已经不是q、dq/dt、t，而是p、q、t。

正则方程是在以p与q为坐标撑开的相空间中的运动方程。

最小作用量原理的发现，有巨大的价值，首先是影响了变分法的发展，甚至是变分法的发展动力，而变分法是一切连续优化方法的来源，例如现在优化基本工具的最优控制，就来源于变分法；其次是统一了物理学基本定律的表达方式。

下面先介绍一下变分法。

微分和变分的概念区别其实很简单，微分是同一函数在某微小区间上的增量，变分则是外界环境变化导致的函数扰动，与函数自变量无关。所以，微分dy中变化的是数值dx，变分Δy是函数的扰动ξη（t））。

先说说微分。我在介绍微积分帖子里说过，微积分就是以曲为直，所以本质上微分是对函数的局部变化的线性展开，例如如果知道函数y=f(x)在x0处的数值，那么x0附近的一点x0+△x的数值f(x0+△x)=f′(x0)△x+f(x0)来近似表达，其中f′(x0)就是一阶导数在x0的值，也即当x的变化量△x趋于0时，函数的变化可以分解为两个部分，一部分是线性部分：正比于自变量的变化量△x，可以表示成△x和一个与△x无关，只与函数及有关的量的乘积；另一部分是比△x更高阶的无穷小，也就是说除以△x后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在x处的微分，记作df(x)或f'(x)dx。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

当f′(x0)=0时，就是极值条件。例如光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到（费马原理），用微分求极值的方法很容易证明。

多变量微积分也类似,也是在一点附近的线性展开。

变分则是函数的扰动，也即y=y+ξη（t）。

而变分法是求某个函数的极值的方法，但是这个函数的自变量也是个函数。比如说，z=∫_a^bf(y,y′)dxz，其中，a和b是积分的起点和终点。积分的结果就是一个数，具体的数值依赖于函数y=f(x)。 如果某个函数y能够使得这个积分（或者说泛函）取到极值，也即：

∫F(y+ε,y′+ε′)dx−∫F(y,y′)dx=0，其中ε是任意的足够小的，变量是x的函数（可以看成扰动或环境变量，导致多路径的出现，一般可以表达为ξη（x））。

用分部积分公式d(PQ)=PdQ+QdP，以及ε在a和b处的取值都是0条件，可以得到如下偏微分方程:

∂F/∂y−d(∂F/∂y′)/dx=0

这就是变分法得到的欧拉——拉格朗日方程。

如果选取F=√(1+y′^2)，就可以得到“两点之间的最短距离是直线段”；选取F=√(1+y′^2)/√(2gy)，就可以得到最速降线的微分方程，最后求出它是个旋轮线；如果选取F=L=T−V,就是力学的拉格朗日方程，L就是拉格朗日量，而T和V分别是系统的动能和势能。利用拉格朗日方程，很容易求出行星轨道、简谐振动、对称陀螺定点旋转等问题的微分方程和各种守恒量。实际上，机械能守恒、动量守恒、角动量守恒等都可以从拉格朗日方程中得到，分别对应于时间、空间和空间方向的无差别性（拉格朗日量中不显含相应的变量）。

18世纪欧拉--拉格朗日方程的提出，标志变分法创立，其用最小作用量原理解决了大量极值问题。所以变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程，在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

19世纪在数学物理中，用变分法建立了极值函数的充分条件。

20世纪，希尔伯特在23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书其实核心工具就是变分法。

变分法的价值是把路径优化问题等价于计算一个泛函极值问题。力学中的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等其实都是一个计算泛函极值的变分问题。

泛函直观描述就是指函数的定义域是一个无限维的空间，或者说函数的函数，或者说函数的自变量是一族函数，即函数自变量是函数空间，最简单的表达就是：泛函就是由函数空间到实数集的一个映射。

举例来讲，老鹰在空中追兔子，它锁定兔子的最佳攻击路径是一条基于与兔子位置相关和时间相关的二维曲线，也即一个函数，但是兔子还会不断变化自己逃跑路径，所以这条攻击曲线或攻击函数在不断变化，这样老鹰追兔子行为的数学模型就是一个以函数为变量的函数。

变分法在理论物理中非常重要。变分法也提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。微分几何中的测地线也是变分的应用。最优控制的理论是变分法的一个推广。

下面再说说用最小作用量表达物理理论。

按照朗道的说法，自牛顿以来的所有物理学理论都可以用最小作用量的语言表达，朗道用变分法和最小作用量原理推导出整个牛顿力学，光学，电磁学和量子力学。

例如在电磁学中，定义拉格朗日密度L~=-1/4·F_{μυ}F^{μυ}+4π/c·J_{μυ}A^{μυ}，则定义拉格朗日函数L=∫L~dV，其中V是体积。

其中F_{μυ}是电磁场张量，F^{μυ}是电磁场逆变张量，J_{μυ}是四维电流密度，A^{μυ}是四维矢势后（在形式上，这些四维张量可以写成4×4矩阵）。

如果不考虑受到激发的自由电磁波，拉格朗日密度就是L~=-1/4·F_{μυ}F^{μυ}，展开得L~=1/2·εE²-1/2·(1/μ)B²，与弹簧振子的拉格朗日函数L=1/2·mv²-1/2·kx²很像。这就是电场与磁场交互激发，出现电磁波。

再通过最小作用量原理就可以计算得出麦克斯韦方程组：

▽×E=-∂B/∂t——法拉第电磁感应定律，电场旋度与磁场变化之间的关系；

▽×B=μj+με∂E/∂t——麦克斯韦电位移定律，磁场旋度与电场变化之间的关系；

▽·E=ρ/ε——电场E散度与电荷密度ρ之间的关系，也就是说电场是有源场；

▽·B=0——磁场B散度等于0，也就是说磁场是无源场。

再例如在量子力学中，可以同样用最小作用量原理表达基本定律。例如量子力学经典的波函数：ψ=Cexp[iS/h~]。引入作用量px-Et。求∂ψ/∂t，得到∂ψ/∂t=i/h~·∂S/∂t·ψ。利用哈密顿-雅可比方程∂S/∂t+H=0，就可以推得薛定谔方程：ih~∂ψ/∂t=Hψ（这里的H不是哈密顿量，而是哈密顿算子）。

再例如在热力学中，也可以用最小作用量原理表达基本定律。构造拉格朗日量：L=TS-U，用正则方程，得到热力学第一定律的方程：dU=TdS-PdV。

广义相对论也可以用最小作用量原理表达，例如√-g·R就是拉格朗日密度，最小作用量原理：ΔS=Δ{α∫√-g·RdΩ}=0，R是标量曲率张量，g是度规，Ω的时空的“体积”。应用上述最小作用量原理，可以得到无源引力场方程：R_{μυ}-1/2·g_{μυ}R=0和引力场源方程R_{μυ}-1/2·g_{μυ}R=kT_{μυ}。T_{μυ}是表示场源物质的能量动量张量，而k则是一个系数。这个方程就是爱因斯坦给出的引力场方程。利用ΔS=Δ∫ds=0，得到运动方程（测地线方程），：d²x^{μ}/dτ²+Γ^{μ}_{λσ}·dx^{λ}/dτ·dx^{σ}/dτ。如果让Γ^{μ}_{λσ}=0，得到d²x^{μ}/dτ²=0，与牛顿力学中匀速运动的加速度a=d²x/dt²=0一样。

除此之外，在光学中有费马定理Δ∫nds=0，其中n是折射率，而ds是光走过的一小段路线，由此是可以推得光学的基本定理。

当今理论物理学研究前沿，无论是基本的量子场论还是超弦理论、M理论，物理学家总是要先找到拉格朗日量和作用量。

所以最小作用量原理是物理学的本质原理，类似诺特发现的：一个物理系统的对称性对应一个守恒定律一样本质。其实不知道哈密顿原理（最小作用量原理），基本不算学过物理学，也无法理解优化这个概念是人类认识世界的本质飞跃，更不理解优化概念对人类进步的作用。

回过头来看，我个人凭自觉，认为人生也符合最小作用量原理：

首先是人生最优路径=在追求自己每一个阶段预定的人生目标过程中，浪费时间最小，重复劳动最少的路径。

其次是人生目标是阶段性的，每一阶段都与自己出发位置和潜力（包括天赋，体力，精力，储备）有关，阶段目标确定必须优先考虑可行性，既不能好高骛远，无法实现，也不能自暴自弃，毫无追求和难度。整个人生优化的路径，就是追求每一阶段目标过程中优化路径的叠加（可行的路径和方案积分）。

其三是有时为了整体长远目标，短期目标必须调整，甚至牺牲，以保证长期路径的优化（例如不能每一阶段都把潜力用完，有时必须积累，储备，为冲击转折点积累力量）。

所以勤奋不一定会成功，如何勤奋才关键。

所以我的结论是：在人生追寻自己目标过程中，面对各种机会，正确选择，正确实施，比玩命重要。

什么是正确的选择，正确的实施，我觉得判断标准就是：减少时间浪费和精力浪费，谋定后动，不做重复劳动，不在一个地方重复做事情，更不能重复犯错误。

上述原则，其实可以写很多细节，不过就成为鸡汤文了。

写这篇帖子的目的，还是想通过哈密顿原理提出和发展的过程，变分法的创立，来介绍一种问题抽象能力，化繁为简的能力。能不能举一反三，看个人悟性了。